Hier geht's direkt zur Übersicht mit den Themen dieses Semesters.
Liebe Freunde der Mathematik
Anschliessend eine Liste meiner PDF- und MP4-Dateien. Die Ton- und Bildqualität ist nicht berauschend, aber für den Moment muss es reichen. Die Nummerierung der Blöcke orientiert sich am Unterrichtsprogramm. Ich werde in den nächsten Wochen weitere Dateien hinzufügen.
Damit der Fernunterricht auch funktioniert, hier das Vorgehen:
Ich bin erreichbar unter teko@mathador.ch und in dringenden Fällen 079 218 76 20, viel Spass!
El Mathador
Grundsätzlich bin ich gerne für euch da, aber das Erstellen von PDF- und MP4-Dateien ist sehr zeitaufwändig, daher folgende Bitte an euch:
Unterstützung | Zuständigkeit |
1. Level | Studierende aus deiner Lerngruppe |
2. Level | Die Besten der Klasse bzw. deren Musterlösungen |
3. Level | D. Stutz |
Wenn jemand von euch eine Aufgabe schön dargestellt und richtig gelöst hat, würde ich diese hier gerne als Musterlösung veröffentlichen. Bitte unterstütze deine Mitstudierenden und schick mir deine Lösung an teko@mathador.ch, danke schön.
Damit wir mathematische Terme in Fragen/Antworten korrekt aufschreiben können, hier eine kleine Zusammenstellung. Wenn euch noch was dazu einfällt, lasst es mich bitte wissen.
Bezeichnung | Schreibweise | Englische Bez. |
Betrag von (x + 2) | |x + 2| oder abs(x + 2) | absolut value |
Kreiszahl Pi | Pi | |
Logarithmus von (x + 2) zur Basis 3 | log(3 ; x + 2) | |
Plus minus 2 | +/- 2 | |
Potenz x hoch 2 | x^2 | |
Potenz x hoch -1 | x^(-1) | |
Quadratwurzel von (x + 2) | sqrt(x + 2) | square root |
Dritte Wurzel von (x + 2) | rt(3 ; x + 2) | root |
In Abweichung zum Unterrichtsprogramm repetieren wir Funktionen. Alles was ihr im neuen Buch "Differentialrechnung" zum Thema Relationen findet ist NICHT relevant, denn wir reden ausschliesslich über Funktionen. Im Buch werden Funktionen und Relationen parallel behandelt, weil Funktionen spezielle Relationen sind, was wir aber gleich wieder vergessen. Auch das Thema Grenzwert (lim steht für Limes) ist für uns NICHT relevant, d.h. wenn ihr im Buch irgendwo ein lim seht, müsst ihr nicht weiterlesen.
Die Themen und Aufgaben gemäss folgender Tabelle müssten euch bekannt vorkommen, wobei die Spalte P für Priorität steht, und M in der letzten Spalte für Seitenmitte. Löst so viele Aufgaben wie möglich. Wer will kann seine Lösungen an teko@mathador.ch mailen. Ich schau es mir dann an und gebe euch eine Rückmeldung.
Thema | P. | Seite |
Funktionen, Zuordnungsvorschrift, Definitions- und Wertebereich | 19 - 20 | |
Funktionen, Schreibweise, Tabellenform, Darstellung als Graph, Wertetabelle, Definitions- und Wertebereich | 22 - 26 | |
Funktionen, Nullstellen und y-Achsenabschnitt,
Aufgaben 1, 2 und 8 - 12 von 1.1.5 |
! | 35 - 37, 79 |
Polynome, Operationen (z.B. Polynomdivision),
Alle Aufgaben von 1.2.1 |
82 - 85, 196 | |
Polynomfunktionen, linear und quadratisch,
Aufgaben 1 - 45 von 1.2.2 |
! | 85 - 93, 196 |
Quadratische Funktionen, quadratische Ergänzung, Scheitelpunktform, Anzahl Nullstellen | ! | 95 - 101 M |
Polynomfunktionen, kubisch und höher,
Aufgaben 46 - 59 von 1.2.2 |
! | 104 - 107, 110, 197 |
Polynomfunktionen, Interpolation,
Aufgaben 60, 61 von 1.2.2 |
112, 197 | |
Potenzfunktionen | ! | 113 M - 114 |
Gebrochenrationale Funktionen, echt oder unecht gebrochen, Definitionsbereich, Definitionslücken (Polstellen) | ! | 155, 156 |
Gebrochenrationale Funktionen, Nullstellen und y-Achsenabschnitt,
Aufgaben 1 - 38 von 1.2.5 |
! | 162, 163, 199 |
Gebrochenrationale Funktionen, Funktionstypen, Hyperbeln, Polstellen mit/ohne VZW (Vorzeichenwechsel) | ! | 170, 171 |
Wurzelfunktionen, Umkehrfunktionen | 172, 173 | |
Wurzelfunktionen, Transformationen (Streckung/Stauchung und Verschiebung) | ! | 174, 175 |
Potenzfunktionen | ! | 183, 184 |
Es geht um die Steigung f' (erste Ableitung) einer Funktion f, sowie erste Ableitungsregeln, mit welchen man f' aus f berechnen kann.
Differentialrechnung, Steigung einer Kurve (erste Ableitung) | ||||
Nr. | 3W | PDF-Datei | MP4-Datei | Stichworte / Bemerkung |
2.1 | S4B021D1 | Momentangeschwindigkeit als Steigung im Weg-Zeit-Diagramm | ||
2.1 | S4B021D2 | S4B021D2 | Normalparabel, Tangente, Steigungsdreieck, 1. Ableitung f' | |
2.1 | S4B021D3 | S4B021D3 | Normalparabel verschoben, Tangente, 1. Ableitung f' | |
2.1 | S4B021D4 | Wurzelfunktion, Tangente, Steigungsdreieck, 1. Ableitung f' |
Differentialrechnung, Ableitungsregeln (siehe FS 10.3.1 und 10.3.2) | ||||
Nr. | 3W | PDF-Datei | MP4-Datei | Stichworte / Bemerkung |
2.2 | S4B022D1 | Konstante Funktionen, lineare Funktionen mit Steigungsfaktor m | ||
2.2 | Se | S4B022D2 | Normalparabel, Faktor- und Summenregel | |
2.2 | Se | S4B022D3 | Potenzregel, welche z.B. auch Wurzelfunktionen einschliesst | |
2.2 |
Gelbes Buch, Aufgaben 20.1 - 20.9 (S.176)
Rotes Buch, Aufgaben 2.2.1 - 2.2.3 je die ersten zehn (S.337) |
Differentialrechnung, Anwendungen, Kurvendiskussion
Siehe dazu die Tabelle im Abschnitt 10.2.3 der Formelsammlung! |
||||
Nr. | 3W | PDF-Datei | MP4-Datei | Stichworte / Bemerkung |
2.3 | S4B023D1 | Minimum einer quadratischen Funktion bestimmen (Extremum, Scheitelpunkt) | ||
2.3 | Se | S4B023D2 | Minimum und Maximum einer kubischen Funktion bestimmen (Extrema) |
Repetiere mit Hilfe des neuen Buches "Differentialrechnung" folgende Ableitungsregeln: Potenzregel (Beispiele ab S.231), Konstanten- und Faktorregel (Beispiele ab S.236), Summenregel (Beispiele ab S.238)
Differentialrechnung, Monotonie (ist der Graph wachsend oder fallend)
Siehe dazu die Tabelle im Abschnitt 10.2.3 der Formelsammlung! |
||||
Nr. | 3W | PDF-Datei | MP4-Datei | Stichworte / Bemerkung |
3.2 | Se | S4B032D1 | Monotonie einer Wurzelfunktion | |
3.2 | S4B032D2 | Monotonie einer gebrochenlinearen Funktion |
Differentialrechnung, Produktregel (siehe FS 10.3.1) | ||||
Nr. | 3W | PDF-Datei | MP4-Datei | Stichworte / Bemerkung |
3.3 | Se, Sc1, Sc2 | Gelbes Buch, Aufgaben 20.13acde und 20.15ac (S.178) |
Differentialrechnung, Quotientenregel (siehe FS 10.3.1) | ||||
Nr. | 3W | PDF-Datei | MP4-Datei | Stichworte / Bemerkung |
3.4 | Se | Gelbes Buch, Aufgaben 20.16ab, 20.17ab und 20.18ab (S.178) |
Differentialrechnung, Anwendungen, Kurvendiskussion
Siehe dazu die Tabelle im Abschnitt 10.2.3 der Formelsammlung! |
||||
Nr. | 3W | PDF-Datei | MP4-Datei | Stichworte / Bemerkung |
3.5 | Se | S4B035D1 |
Kurvendiskussion gebrochenrationaler Funktionen,
siehe FS 10.2.1 zum Stichwort "kritische Punkte" |
|
3.5 | S4B035D2 |
Auf der Website Wolframalpha.com kann man Ableitungen berechnen lassen, z.B. mit dem Befehl D[x^2, x]. Dabei steht das D für "Derivative" (engl. für Ableitung) und die Normalparabel x^2 ist die Funktion, welche abgeleitet werden soll. Das x sagt dem Programm, nach welcher Variable abgeleitet werden soll. Mit dem Befehl Plot[x^2, {x, -2, 2}] lässt sich die Normalparabel auch zeichnen auf dem Intervall von -2 bis 2. Siehe die folgende Tabelle für ein paar Beispiele, wobei man sogar Ableitungsregeln wie Summen-, Produkt- und Quotientregel überprüfen kann.
Hier findest du eine alphabetische Liste mit Befehlen. | |||
Funktion f(x) | Bezeichnung | Ableiten | Zeichnen |
- x^2 | Gespiegelte Normalparabel | D[- x^2, x] | Plot[- x^2, {x, -2, 2}] |
4 x^3 | Gestreckte kubische Parabel | D[4 x^3, x] | Plot[4 x^3, {x, -2, 2}] |
sqrt(3) sqrt(x) + 1 | Transformierte Wurzelfunktion | D[sqrt(3) sqrt(x) + 1, x] | Plot[sqrt(3) sqrt(x) + 1, {x, 0, 6}] |
sin(x) / 2 - cos(x) | Trigonometrische Funktionen | D[sin(x) / 2 - cos(x), x] | Plot[sin(x) / 2 - cos(x), {x, -Pi, Pi}] |
log(x) + log(2, x) | Nat. und binärer Logarithmus | D[log(x) + log(2, x), x] | Plot[log(x) + log(2, x), {x, 0, 4}] |
u(x) + v(x) | Kontrolle Summenregel | D[u(x) + v(x), x] | |
u(x) v(x) | Kontrolle Produktregel | D[u(x) v(x), x] | |
u(x) / v(x) | Kontrolle Quotientenregel | D[u(x) / v(x), x] |
Differentialrechnung, Faktor- vs Produktregel, Kehrwert- vs Quotientenregel, Kettenregel (siehe FS 10.3.1) | ||||
Nr. | 3W | PDF-Datei | MP4-Datei | Stichworte / Bemerkung |
4.1 | Sc | S4B041D1 |
Faktorregel als Spezialfall der Produktregel
Rotes Buch, Beispiele (S.241), Aufgaben 2.2.4 (S.339) |
|
4.1 | S4B041D2 |
Kehrwertregel als Spezialfall der Quotientenregel
Rotes Buch, Beispiele (S.244), Aufgaben 2.2.5 (S.339) |
||
4.1 | Se, Sc1, Sc2 |
Kettenregel für verkettete Funktionen
Gelbes Buch, Aufgaben 20.10 - 20.12, 20.14 und 20.15bde (S.178) Rotes Buch, Beispiele (S.251), Aufgaben 2.2.6 (S.340) |
Differentialrechnung, Krümmung einer Kurve (zweite Ableitung f'')
Siehe dazu die Tabelle im Abschnitt 10.2.3 der Formelsammlung! |
||||
Nr. | 3W | PDF-Datei | MP4-Datei | Stichworte / Bemerkung |
4.2 | Se | S4B042D1 | S4B042D1 enthält zusätzliche Aufgaben! | |
4.2 | S4B042D2 | Vervollständige die Arbeitsblätter S4B023D2, S4B035D1 und S4B035D2. Berechne je die zweite Ableitung f'' und beweise mit Hilfe der Krümmung, dass es sich bei den Extrema tatsächlich um Minima bzw. Maxima handelt. |
Eine häufige Anwendung der Differentialrechnung ist die Diskussion von Funktionen, auch Kurvendiskussion genannt, siehe S.448 im roten Buch. Man bestimmt dabei rechnerisch alle interessanten Eigenschaften einer Funktion, um daraus den Graph zu zeichnen. Man versteht dann besser was die Funktion "macht", d.h. wie der Output auf eine Veränderung des Inputs reagiert.
Abkürzungen: D = Definitionsbereich, ZV = Zuordnungsvorschrift, VZW = Vorzeichenwechsel
Eigenschaft | Bemerkung / Vorgehen | FS |
Symmetrie |
Bei Polynomfunktionen sind die Exponenten der Potenzen in x ausschlaggebend
- Symmetrie zur y-Achse, falls nur gerade Exponenten vorkommen - Symmetrie zum Ursprung, falls nur ungerade Exponenten vorkommen - Weder noch, falls gerade und ungerade Exponenten vorkommen |
9.2 |
Definitionsbereich | D wird wie bei Termen und Gleichungen bestimmt. | 4.2 |
Schnittstelle
mit y-Achse, y-Achsenabschnitt |
Davon gibt es entweder keine oder genau eine. Setze x = 0, d.h. berechne f(0). | |
Schnittstelle(n)
mit x-Achse, Nullstelle(n) |
Davon gibt es entweder keine oder beliebig viele. Setze y = f(x) = 0 und löse die Gleichung. Bestimme die Position und Art (mit/ohne VZW) und - falls verlangt - die nähere Umgebung. |
8.6
8.7 8.11 |
Polstelle(n) |
Davon gibt es entweder keine oder beliebig viele.
Falls z.B. f(x) = Z(x) / N(x) ist, setze
N(x) = 0 und löse die Gleichung. Bestimme die Position und Art (mit/ohne VZW). |
8.7
8.8 |
Asymptote | Untersuche die ZV für x gegen plus/minus Unendlich. Falls z.B. f(x) = Z(x) / N(x) ist, muss die Asymptote a und die Differenz d evtl. mit Hilfe einer Polynomdivision berechnet werden. |
8.6
8.7 |
Monotonie,
Steigungs- verhalten |
Berechne die erste Ableitung, denn diese steht für die
Steigung
- Die Kurve wächst für alle x mit f'(x) > 0 - Die Kurve fällt für alle x mit f'(x) < 0 |
10.2.1
10.2.3 |
Extrema
Minima Maxima |
Berechne die erste und zweite Ableitung. Setze f'(x) = 0, löse diese Gleichung und berechne so die kritischen Punkte von f, denn dort könnten Extrema auftreten. |
10.2.1
10.2.3 |
Setze jeden kritischen Punkt in die zweite Ableitung ein,
vereinfache und bestimme so das Vorzeichen, d.h. die dortige Krümmung.
- Die Kurve hat in x ein Minimum falls dort f'(x) = 0 und f''(x) > 0 gilt - Die Kurve hat in x ein Maximum falls dort f'(x) = 0 und f''(x) < 0 gilt |
||
Wertebereich | W kann mit dem Steigungsverhalten und den Extrema bestimmt werden. | |
Krümmungs-
verhalten |
Berechne die zweite Ableitung, denn diese steht für die
Krümmung
- Die Kurve ist linksgekrümmt (konvex) für alle x mit f''(x) > 0 - Die Kurve ist rechtsgekrümmt (konkav) für alle x mit f''(x) < 0 |
10.2.2
10.2.3 |
Wendepunkt
Wendetangente Terrassenpunkt Sattelpunkt |
Berechne die zweite und dritte Ableitung. Setze f''(x) = 0, löse diese Gleichung und berechne so die kritischen Punkte von f', denn dort könnten Wendepunkte auftreten. |
10.2.2
10.2.3 |
Setze jeden kritischen Punkt in die dritte Ableitung ein,
vereinfache und bestimme so, ob sich Null ergibt oder nicht.
- Die Kurve hat in x einen Wendepunkt falls dort f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0 gilt - Die Kurve hat in x keinen Wendepunkt falls dort f''(x) = 0 und f'''(x) = 0 gilt |
||
Setze jeden kritischen Punkt in die erste Ableitung ein,
um so die Steigung m der Wendetangente und damit die Art des Wendepunktes zu bestimmen
- Es ist ein Terrassenpunkt (Sattelpunkt) falls dort f'(x) = 0 gilt - Es ist kein Terrassenpunkt (d.h. einfach ein beliebiger WP) falls dort f'(x) ≠ 0 gilt |
Differentialrechnung, Kurvendiskussion Polynomfunktionen
Siehe dazu das sehr ausführliche Beispiel auf S.448 - 453 im roten Buch! |
||||
Nr. | 3W | PDF-Datei | MP4-Datei | Stichworte / Bemerkung |
5.1 | Se | S4B051D2 | 4. Grad | |
5.1 | S4B051D3 | 5. Grad |
Differentialrechnung, Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktionen
Siehe dazu das sehr ausführliche Beispiel auf S.458 - 464 im roten Buch! |
||||
Nr. | 3W | PDF-Datei | MP4-Datei | Stichworte / Bemerkung |
5.2 | Se | S4B052D1 | Keine Polstellen | |
5.2 | S4B052D2 |
Differentialrechnung, Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktionen
Die Ableitungen der folgenden Arbeitsblätter sind ohne CAS fast nicht mehr zu machen. Probiere einige der CAS-Befehle aus und versuche meine Überlegungen nach zu vollziehen. |
||||
Nr. | 3W | PDF-Datei | MP4-Datei | Stichworte / Bemerkung |
5.3 | Se | S4B053D1 | Keine Nullstellen | |
5.3 | S4B053D2 |
In Block 5.2 wurden neue, umfangreiche Kurvendiskussionen hinzugefügt. Versuche diese selbst zu rechnen, evtl. mit Hilfe des CAS auf Wolframalpha.com. Repetiere alle Themen aus dem 4. Semester.
Nach obenIn Block 5.3 wurden neue, umfangreiche Kurvendiskussionen hinzugefügt. Versuche diese selbst zu rechnen, evtl. mit Hilfe des CAS auf Wolframalpha.com. Repetiere alle Themen aus dem 4. Semester.
Nach obenEs geht in diesem Block um Anwendungen der Differentialrechnung, d.h. z.B. um die Frage "Um wieviel muss man eine Gerade g verschieben, damit sie zur Tangente einer Funktion f in einem Berührungspunkt B wird und wo liegt dieser Punkt B?". Ausserdem sollen kürzeste Abstände zwischen zwei Graphen bestimmt werden.
Differentialrechnung, Tangenten an Kurven | ||||
Nr. | 3W | PDF-Datei | MP4-Datei | Stichworte / Bemerkung |
8.1 | S4B081D1 |
Differentialrechnung, kürzeste Abstände zwischen Graphen | ||||
Nr. | 3W | PDF-Datei | MP4-Datei | Stichworte / Bemerkung |
8.2 | S4B082D1 |
Es geht in diesem Block um Interpolation, d.h. es werden Eigenschaften einer Funktion (Punkte auf deren Graph) vorgegeben und man soll aus diesen Eigenschaften die Zuordnungsvorschrift bestimmen. Dazu setzt man die Koordinaten jedes Punktes in die Zuordnungsvorschrift ein, z.B.
und löst das so entstehende (lineare) Gleichungssystem. Das oberste Ziel beim Lösen von Gleichungssystemen ist das Eliminieren von Variablen, siehe Arbeitsblätter von Block 18 und 19 des ersten Semesters. Löse dazu das neue Arbeitsblatt Interpolation. Es handelt sich um eine Wiederholung des dritten Semesters, siehe Aufgaben 2.5 und 2.6 sowie Aufgabe 4.8 aus den alten Arbeitsblättern.
Nach obenEs geht in diesem Block um erweiterte Interpolation, d.h. jetzt sind nicht nur Punkte vorgegeben welche auf dem Graph einer zu bestimmenden Funktion liegen, sondern z.B. auch deren Extrema und/oder Wendepunkte. Löse dazu das neue Arbeitsblatt Interpolation, wo die Aufgaben 5.1 und 5.2 als Vorbereitung für die eigentliche Aufgabe 5.3 dienen. Die Aufgabe 5.4 ist Thema im nächsten Block.
Nach obenLöse die Aufgabe 5.4 aus dem Arbeitsblatt Interpolation von Block 10.
Nach obenLöse die Extremwertaufgaben 6.1 aus diesem Arbeitsblatt.
Nach obenLöse die Extremwertaufgaben 6.2 aus diesem Arbeitsblatt.
Nach oben4. Test zu den Themen von Block 8 bis und mit Block 13. Diese Aufgabentypen sind sehr wichtig für's Vordiplom, d.h. es lohnt sich dafür genug Zeit zu investieren.
Nach obenIntegralrechnung, bestimmtes Integral, Gebiet berechnen
Nach obenRepetition, Fragen beantworten
Vordiplom Mathematik am Sa 26.09. von 9:00 bis 11:00
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